评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“5”。

理由：本题需要计算二阶导数在 x=0 处的值。已知 df|_{(1,1)} = 3du + 4dv，即 f_u(1,1)=3，f_v(1,1)=4。

令 y = f(cos x, 1+x^2)，则：

一阶导数：dy/dx = f_u * (-sin x) + f_v * (2x)。

二阶导数：d²y/dx² = d/dx [f_u * (-sin x) + f_v * (2x)]。

需要用到链式法则和乘积法则：

d²y/dx² = [f_uu * (-sin x) + f_uv * (2x)] * (-sin x) + f_u * (-cos x) + [f_vu * (-sin x) + f_vv * (2x)] * (2x) + f_v * 2。

代入 x=0：此时 cos 0 = 1，1+x²=1，即函数 f 的中间变量为 (1,1)。同时 sin 0 = 0。

代入后，所有含 sin x 或 x 的项均为 0，只剩下 f_u * (-cos x) 项在 x=0 时为 f_u(1,1) * (-1) = 3 * (-1) = -3，以及 f_v * 2 项为 f_v(1,1) * 2 = 4 * 2 = 8。

因此 d²y/dx²|_{x=0} = -3 + 8 = 5。

学生答案与标准答案一致，计算正确，思路完整（虽然未展示过程，但填空题只看最终结果）。

得分：5分。

题目总分：5分