评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生使用了泰勒公式展开的方法，思路与标准答案不同但正确。具体步骤：

• 对 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 处分别写出带拉格朗日余项的一阶泰勒展开式（即 \(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi_1)}{2}x^2\) 和 \(f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(\xi_2)}{2}(x-1)^2\)），这是合理的，因为 \(f\) 具有二阶导数。
• 通过将第一个式子乘以 \((x-1)\)，第二个式子乘以 \(x\)，然后相减，消去了 \(f'(0)\) 和 \(f'(1)\)（这里利用了条件 \(f'(0)=f'(1)\)，但学生在推导过程中没有明确写出利用该条件消去 \(f'(0)\) 和 \(f'(1)\) 的项，实际上在③-④时，\(x(x-1)f'(0)-x(x-1)f'(1)=0\) 因为 \(f'(0)=f'(1)\)，所以该项消失。学生虽然没有强调，但推导中隐含使用了该条件）。
• 得到 \(f(x)-(1-x)f(0)-f(1)x\) 的表达式后，取绝对值，利用 \(|f''(x)|\le 1\) 进行放缩，并化简得到 \(\frac{x(1-x)}{2}\)。

整体逻辑严密，推导正确，结论成立。因此给满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生基于第(1)问的不等式，在区间 \([0,1]\) 上积分：

• 正确写出 \(-\frac{x(1-x)}{2} \le f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x \le \frac{x(1-x)}{2}\)。
• 对不等式逐项积分，计算 \(\int_0^1 \frac{x(1-x)}{2} dx = \frac{1}{12}\)，以及 \(\int_0^1 f(0)(1-x)+f(1)x \, dx = \frac{f(0)+f(1)}{2}\)。
• 得到 \(-\frac{1}{12} \le \int_0^1 f(x)dx - \frac{f(0)+f(1)}{2} \le \frac{1}{12}\)，从而推出要证的不等式。

步骤完整，计算无误，因此给满分6分。

题目总分：6+6=12分