2024年考研数学（一）考试试题 - 第20题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答。 --- ## **1. 题目与标准答案回顾** 题目是计算曲线积分 \[ I = \int_L (6xyz - yz^2)dx + 2x^2 z\, dy + xyz\, dz \] 其中 \(L\) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=2x\) 与平面 \(2x - z - 1 = 0\) 的交线，从 \(z\) 轴正向看逆时针。 标准答案的思路： 1. 用 Stokes 公式（或直接写成旋度的曲面积分形式）将曲线积分转化为以 \(L\) 为边界的曲面 \(\Sigma\)（取平面 \(z=2x-1\) 上被 \(L\) 所围部分）上的曲面积分。 2. 计算旋度： \[ \vec{F} = (P,Q,R) = (6xyz - yz^2, \; 2x^2 z, \; xyz) \] 旋度 \[ \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \] 计算得 \[ \nabla \times \vec{F} = (xz - 2x^2, \; 6xy - 3yz, \; z^2 - 2xz) \] 3. 曲面 \(\Sigma: z=2x-1\)，取上侧（与 \(L\) 的定向匹配），法向量方向余弦与 \(dydz:dzdx:dxdy\) 的关系为 \[ dydz = -z_x dxdy = -2 dxdy,\quad dzdx = -z_y dxdy = 0 \] 所以 \[ \iint_{\Sigma} (xz-2x^2)dydz + (6xy-3yz)dzdx + (z^2-2xz)dxdy \] 代入 \(z=2x-1\)，\(dydz=-2dxdy\)，\(dzdx=0\)，得被积函数为 \[ (xz-2x^2)(-2) + (z...

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