2024年考研数学（一）考试试题 - 第21题回答

好的，我们先明确题目要求： 1. 写出矩阵 \(A\)（对应第一问的一部分） 2. 求 \(A^n\)（对应第二问的一部分） 3. 求 \(x_n, y_n, z_n\)（对应第三问的一部分） 题目总分 12 分，标准答案中这三步是连贯的，但我们可以按逻辑分段给分。 --- **第一步：写出矩阵 \(A\)** 从递推式直接可得 \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \] 学生第一次识别结果中 \(A\) 写对（第三行第一个是 \(-6\)，不是 \(6\)，第一次识别正确，第二次识别第三行第一个是 \(6\)，错了）。 但第二次识别结果中 \(A\) 第三行第一列是 \(6\)，这是错误，不过根据“两次识别只要有一次对就不扣分”原则，这里不扣分。 因此 **矩阵 \(A\) 正确**，给对应分数（这一步在标准答案中没单独给分，但它是后续的基础，我们可把 12 分分配为：矩阵 \(A\) 正确 1 分，特征值与特征向量 4 分，对角化与 \(A^n\) 5 分，求 \(x_n, y_n, z_n\) 2 分）。 --- **第二步：求特征值** 学生两次识别中特征多项式化简有笔误（第二次识别中 \((\lambda+2)(\lambda^2-8\lambda)\) 显然是错的，但最终特征值结果 \(\lambda=0,1,-2\) 正确）。 第一次识别中特征多项式化简到 \((\lambda+2)(\lambda-1)=0\) 漏了 \(\lambda\)，但最终特征值写了 \(\lambda_1=0, \lambda_2=1, \lambda_3=-2\)，说明他知道第三个特征值是 \(-2\)，只是中间少写一个 \(\lambda\) 因子，属于笔误，不扣逻辑分。 所以 **特征值正确**。 --- **第三步：特征向量** 标准答案的特征向量： \(\lambda=0\)：\((1,-1,1)^T\) \(\lambda=1\)：\((2,-2,3)^T\) \(\lambda=-2\)：\((-1,2,0)^T\) 学生第一次识别： ...

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