评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：\(K(1,1,-1,-1)^T + (5,4,-4,0)^T\)。

标准答案：\(k(1,1,-1,-1)^T + (1,0,0,4)^T\)。

分析：题目给出矩阵 \(A = (a_1, a_2, a_3, a_4)\)，条件为 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)。所求为 \(Ax = a_1 + 4a_4\) 的通解。

1. 由 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\) 可得 \(a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0\)，即 \(A(1,1,-1,-1)^T = 0\)，所以 \(\xi = (1,1,-1,-1)^T\) 是齐次方程组 \(Ax=0\) 的一个非零解。由于 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \(a_4\) 可由它们线性表示（由 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)），故 \(r(A)=3\)，所以齐次通解为 \(k\xi\)。学生答案中齐次部分正确。
2. 求特解：设特解 \(x_0\) 满足 \(Ax_0 = a_1 + 4a_4\)。利用 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)，则 \[ a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3. \] 因此可取 \(x_0 = (5,4,-4,0)^T\)，因为 \[ A x_0 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3 = a_1 + 4a_4. \] 学生给出的特解 \((5,4,-4,0)^T\) 确实是原方程的一个特解。
3. 通解结构：非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 一个特解。学生答案符合此结构。

结论：学生的答案虽然与标准答案的特解不同，但根据“思路正确不扣分”原则，只要特解正确即可。经检验，学生给出的特解确实满足方程，因此整个通解正确。

得分：5分。

题目总分：5分