评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别，我们综合评判其核心逻辑与计算过程。

优点：

1. 学生正确理解了题目给出的极限条件，并试图通过泰勒展开和极限运算来求解。
2. 最终得出的结论“f(x)在x=0处可导且f'(0)=5”与标准答案一致。
3. 在第二次识别中，学生正确地使用了 \(\ln(1+x)+\ln(1-x) \sim -x^2\) 这一等价无穷小关系。

主要逻辑错误与扣分点：

1. 泰勒展开错误（严重逻辑错误）： 在第一次识别中，学生将 \(e^{2\sin x}\) 展开为 \(1+2x+o(x^2)\)，这是错误的。正确的展开至少要到 \(x^2\) 项：\(e^{2\sin x} = 1 + 2\sin x + 2\sin^2 x + o(x^2) = 1 + 2x + 2x^2 + o(x^2)\)。第二次识别中，展开式写为 \(1+2x+o(x)\) 和 \(1+2x-2x^2+o(x^2)\)，后者符号错误（应为+2x^2）。这个错误直接导致后续极限拆分的分子部分计算出现偏差。
2. 极限拆分与计算逻辑混乱： 由于第一步展开错误，后续的极限拆分和计算过程（例如得出 \(\lim_{x \to 0} \frac{xf(x)-2x}{-x^2} = -1\)）虽然凑出了最终导数结果，但中间推导过程依赖于错误的展开式，逻辑链条不严谨。例如，从 \(\lim \frac{xf(x)-2x}{-x^2} = -1\) 直接跳到 \(-f'(0) = -5\) 缺乏必要的步骤（需要先证明 \(f(0)=2\)，再将极限转化为导数定义形式 \(\lim \frac{f(x)-2}{x}\)）。学生的推导跳跃且部分等式不成立。
3. 关键步骤缺失： 学生没有清晰地证明 \(f(0)=2\) 是源于函数在 \(x=0\) 处连续这一条件。虽然两次识别中都提到了 \(f(0)=2\)，但推导过程不严谨（例如第一次识别中由 \(\lim (xf(x)-2x)=0\) 推出 \(\lim f(x)=2\) 是合理的，但未明确引用连续性；第二次识别中“不妨设 \(f(0)=2\)”的表述不严谨，应该是根据连续性和极限值推导得出）。

打分： 本题考察利用极限和泰勒展开求导数的综合能力。学生的答案结论正确，但核心的泰勒展开存在错误，且后续推导逻辑不严谨，多处存在跳...