评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(y = x\)。为了判断曲线 \(y = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}\) 的渐近线，我们需要分别考察斜渐近线和垂直渐近线。

1. 垂直渐近线：函数为三次根式下的多项式，定义域为全体实数，且函数连续，无垂直渐近线。
2. 斜渐近线：设渐近线为 \(y = kx + b\)。
   • 计算斜率 \(k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{x^3 - 3x^2 + 1}{x^3}} = \sqrt[3]{1} = 1\)。
   • 计算截距 \(b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} - x)\)。这是一个 \(\infty - \infty\) 型未定式，需要进行有理化（或利用公式 \(a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}\)）。令 \(a = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}, b = x\)，则 \(a^3 - b^3 = (x^3 - 3x^2 + 1) - x^3 = -3x^2 + 1\)。因此， \[ b = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 1}{a^2 + a x + x^2} \] 其中 \(a \sim x\)（当 \(x \to \infty\) 时）。所以分母 \(\sim x^2 + x \cdot x + x^2 = 3x^2\)。因此， \[ b = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 1}{3x^2} = -1 \] 故斜渐近线方程为 \(y = x - 1\)。

学生答案 \(y = x\) 的截距计算错误（应为 -1 而非 0），因此答案不正确。根据题目要求，填空题答案必须完全正确才给分，错误则给0分。因此本题得分为 0 分。

题目总分：0分