2025年考研数学（二）考试试题 - 第15题回答

好的，我们先分析题目与学生的答案。 --- **1. 题目分析** 微分方程 \[ (2y - 3x)dx + (2x - 5y)dy = 0 \] 满足 \(y(1) = 1\)。 这是一个齐次方程（因为可以写成 \(\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 2y}{2x - 5y}\)，分子分母都是齐次一次函数）。 标准解法：令 \(y = ux\)，代入化简，分离变量积分，再代入初值，得到隐式解 \[ 3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4 \] 这是标准答案。 --- **2. 学生答案分析** 学生两次识别结果基本一致： \[ \frac{1}{\sqrt{3 - 4\frac{y}{x} + 5\frac{y^{2}}{x^{2}}}} = x + \frac{1}{2} \] 这个形式与标准答案不同，但可能是解微分方程过程中分离变量积分并代入初值后的一个中间形式（经过变量代换 \(u = y/x\) 后积分得到含 \(\sqrt{3 - 4u + 5u^2}\) 的表达式，再代入初值得到常数）。 我们验证一下： 设 \(u = y/x\)，则原方程化为 \[ \frac{du}{dx} = \frac{3 - 2u - u(2 - 5u)}{x(2 - 5u)} = \frac{3 - 4u + 5u^2}{x(2 - 5u)} \] 分离变量： \[ \frac{2 - 5u}{3 - 4u + 5u^2} \, du = \frac{dx}{x} \] 积分左边： \[ \int \frac{2 - 5u}{3 - 4u + 5u^2} du \] 注意到分子是分母导数的一半： \[ \frac{d}{du}(3 - 4u + 5u^2) = -4 + 10u \] 而 \(2 - 5u = -\frac12[(-4 + 10u)]\)，所以积分得 \[ -\frac12 \ln|3 - 4u + 5u^2| = \ln|x| + C \] 即 \[ \ln|3 - 4u + 5u^2| = -2\ln|x| + C_1 \] \[ 3 - 4u + 5u^2 = \frac{C_2}{x^2} ...

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