评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：第1次识别为 \(k(5,4,-4)^{T},k\in R\)；第2次识别为 \(k(5,4, - 4)^{\mathrm{T}},k\in\mathbb{R}\)。

标准答案：\(k\begin{pmatrix}1\\1\\ - 1\\ - 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix}\)，\(k\)为任意常数。

分析：本题要求解线性方程组 \(Ax = a_1 + 4a_4\) 的通解。已知条件为 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)。由此可得 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)，代入方程右端：
\(a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。
因此，方程 \(Ax = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\) 有一个特解为 \(x_0 = (5, 4, -4, 0)^T\)（因为 \(A\) 的列向量为 \(a_1, a_2, a_3, a_4\)，该特解表示用系数5,4,-4,0分别乘对应列向量得到右端项）。

其次，由 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\) 可得 \(a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0\)，即向量 \((1,1,-1,-1)^T\) 是齐次方程 \(Ax=0\) 的一个非零解。由于 \(a_1,a_2,a_3\) 线性无关，矩阵 \(A\) 的秩至少为3，结合 \(a_4\) 可由前三列线性表示（\(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)），可知 \(r(A)=3\)，因此齐次方程的基础解系含 \(4-3=1\) 个向量，即 \((1,1,-1,-1)^T\) 就是基础解系。

于是通解应为：\(x = k(1,1,-1,-1)^T + (5,4,-4,0)^T\)，其中 \(k\) 为任意常数。

标准答案给出的是 \(k(1,1,-1,-1)^T + (1,0,0,4)^T\)，这其实是另一个特解形式（可通过特解减去齐次解的一个倍数得到）。学生给出的答案是 \(k(5,4,-4)^T\)，这存在几个问题：

...