评分及理由

本题满分12分，学生作答整体思路正确，但在关键步骤的推导中存在逻辑错误和表述不严谨之处，具体扣分如下：

（1）步骤一：化简极限表达式（满分2分）

学生正确应用对数运算法则将分母化为 \(\ln(1-x^2)\)，得2分。

（2）步骤二：利用连续性（满分1分）

学生提及函数在 \(x=0\) 处连续，但此步骤在后续推导中并未有效使用（例如用于确定 \(f(0)\) 的值），表述正确但未深入，给1分。

（3）步骤三：极限的进一步变形与计算（满分7分）

此为核心推导步骤，学生存在多处逻辑错误：
1. 在利用等价无穷小替换时，将 \(e^{2\sin x}-1 \sim 2\sin x\) 代入分子，但分母替换为 \(-x^2\) 后，整个分式应保留到足够的阶数（\(x^2\)）。学生的替换 \(\frac{xf(x) - (2\sin x)}{-x^2}\) 忽略了 \(2\sin x\) 展开中的高阶项（如 \(2\sin^2 x\)），导致后续推导出现偏差。此处属于方法应用不当，扣2分。
2. 学生得到 \(\lim\limits_{x \to 0} \left[-\frac{f(x)}{x} + \frac{2\sin x}{x^2}\right] = -3\)，并指出 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x^2}\) 不存在，需要系数抵消。此观察正确，但后续推导“进一步变形可得 \(\lim\limits_{x \to 0} \left[\frac{-f(x) + 1}{x}\right] = -5\)”缺乏严格的代数推导过程，且凭空引入了常数“1”。从表达式 \(-\frac{f(x)}{x} + \frac{2\sin x}{x^2}\) 无法直接推出 \(\frac{-f(x)+1}{x}\)，此步骤逻辑跳跃，扣3分。
3. 学生未通过极限条件先求出 \(f(0)\) 的值，而是直接假设了一个形式进行推导，这是关键缺陷。扣1分。
此步骤共扣6分，得1分。

（4）步骤四：求导数值（满分2分）

学生写出了导数定义式，并基于上一步得出的错误等式 \(\lim\limits_{x \to 0} \left[\frac{-f(x) + 1}{x}\right] = -5\) 进行变形，最终得到 \(f'(...