评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题要求求解函数 \( f(x, y) \) 及其极值。学生作答提供了两次识别结果，其中第二次识别结果在关键步骤上基本正确，但最终极值计算有误。具体分析如下：

• 求解 \( f(x, y) \) 的过程：第二次识别中，从 \( df \) 得到偏导数，积分得到 \( f(x, y) = -e^{-y}x^2 + G(y) \)，再利用条件确定 \( G(y) \)，最终得到 \( f(x, y) = e^{-y}(-x^2 + 2 - y) \)。此结果与标准答案 \( f(x, y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \) 等价（展开后均为 \( e^{-y}(-x^2 - y + 2) \)），因此该部分正确。
• 求极值点：第二次识别正确解出驻点为 \( (0, -1) \)，并计算了二阶偏导数及判别式 \( AC - B^2 = 2e^2 > 0 \) 且 \( A = -2e < 0 \)，判断为极大值点。这些步骤均正确。
• 极值计算：学生计算极大值为 \( f(0, -1) = 3e \)，但根据正确表达式 \( f(0, -1) = e^{-(-1)}(-0^2 - (-1) + 2) = e(0 + 1 + 2) = 3e \)。然而标准答案为 \( e \)，两者不一致。检查标准答案：\( f(0, -1) = -0^2 e^{1} + (-1+2)e^{1} = 0 + 1 \cdot e = e \)。学生结果 \( 3e \) 是错误的，源于其函数表达式 \( f(x, y) = e^{-y}(-x^2 + 2 - y) \) 在 \( (0, -1) \) 处代入得 \( e^{1}(0 + 2 - (-1)) = e \cdot 3 = 3e \)，但标准答案表达式为 \( f(x, y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \)，在 \( (0, -1) \) 处为 \( 0 + (1)e^{1} = e \)。两个表达式看似等价，实则学生表达式 \( e^{-y}(-x^2 + 2 - y) \) 展开为 \( -x^2 e^{-y} + 2e^{-y} - y e^{-y} \)，而标准答案为 \( -x^2 e^{-y} + y e^{-y} + 2e^{-y} \)，差异在...