评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为“2”。

分析：题目要求计算傅里叶正弦级数和函数 \(S(x)\) 在 \(x = -\frac{7}{2}\) 处的值。已知 \(f(x)\) 在 \([0, 1]\) 上定义，其傅里叶正弦级数展开为奇延拓后的周期函数（周期为 \(2\)）。因此，和函数 \(S(x)\) 是一个以 \(2\) 为周期的奇函数。我们需要利用周期性 \(S(x+2) = S(x)\) 和奇函数性质 \(S(-x) = -S(x)\) 将 \(S(-\frac{7}{2})\) 转化到基本区间 \([0, 1]\) 上。

计算过程：
\(S\left(-\frac{7}{2}\right) = S\left(-\frac{7}{2} + 4\right) = S\left(\frac{1}{2}\right)\)，因为加上两个周期 \(4\) 后得到 \(\frac{1}{2}\)。
在 \(x = \frac{1}{2}\) 处，函数 \(f(x)\) 的定义为 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)。但傅里叶级数在间断点处收敛于左右极限的平均值。检查 \(x = \frac{1}{2}\)：左侧极限 \(f\left(\frac{1}{2}^-\right) = 0\)，右侧极限 \(f\left(\frac{1}{2}^+\right) = \frac{1}{4}\)，因此 \(S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{0 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}\)。

标准答案为 \(\frac{1}{8}\)，学生答案为“2”，数值错误，且未体现正确计算过程。因此，本题得分为 0 分。

题目总分：0分