评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“0.5”。

我们首先根据已知条件进行计算验证。已知 \( A \) 与 \( B \) 相互独立，\( P(A)=2P(B) \)，\( P(A\cup B)=\frac{5}{8} \)。

设 \( P(B) = p \)，则 \( P(A) = 2p \)。由独立性，\( P(A \cap B) = P(A)P(B) = 2p \cdot p = 2p^2 \)。

根据加法公式：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2 \)。

已知 \( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \)，所以有方程：

\( 3p - 2p^2 = \frac{5}{8} \)

两边乘以8：\( 24p - 16p^2 = 5 \)

整理得：\( 16p^2 - 24p + 5 = 0 \)

解此一元二次方程：\( \Delta = (-24)^2 - 4 \times 16 \times 5 = 576 - 320 = 256 \)

\( p = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{2 \times 16} = \frac{24 \pm 16}{32} \)

所以 \( p_1 = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} > 1 \)（舍去），\( p_2 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)。

因此，\( P(B) = \frac{1}{4} \)，\( P(A) = \frac{1}{2} \)，\( P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \)。

题目要求：在 \( A, B \) 至少有一个发生的条件下，\( A, B \) 中恰有一个发生的概率。即求条件概率 \( P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \mid A \cup B) \)。

计算：

\( P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = P(A) + P(B) - 2P...