评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为：e。标准答案为：√e。

该极限为1^∞型未定式，正确解法通常为取对数后利用等价无穷小或洛必达法则求解。计算过程大致如下：

设 \( y = \left( \frac{1 + e^x}{2} \right)^{\cot x} \)，则
\(\ln y = \cot x \cdot \ln \left( \frac{1 + e^x}{2} \right) = \frac{\ln \left( \frac{1 + e^x}{2} \right)}{\tan x} \)。
当 \( x \to 0 \) 时，\( \frac{1 + e^x}{2} \to 1 \)，故 \( \ln \left( \frac{1 + e^x}{2} \right) \sim \frac{1 + e^x}{2} - 1 = \frac{e^x - 1}{2} \sim \frac{x}{2} \)。同时，\( \tan x \sim x \)。
因此，\( \ln y \sim \frac{x/2}{x} = \frac{1}{2} \)，所以 \( y \to e^{1/2} = \sqrt{e} \)。

学生答案“e”对应于极限值为 \( e^1 \)，这表明学生在计算对数部分的极限时，可能错误地得到了1（例如，错误地认为 \(\ln((1+e^x)/2) \sim (e^x-1)\) 且未除以2，或忽略了分母的等价关系），属于计算过程中的逻辑错误，导致最终结果错误。

根据评分规则，答案错误则得0分。

题目总分：0分