评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生两次识别结果均为：\(e^{x}(C_{1}\cos2 + C_{2}\sin2)+C\) 或 $e^{x}(C_{1}\cos2 + C_{2}\sin2)+C$。

标准答案为：\(C_{1}+e^{x}(C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x)\)。

对比分析：

1. 核心结构： 学生答案包含了指数函数 \(e^{x}\)、三角函数 \(\cos\) 和 \(\sin\) 的线性组合，以及一个单独的常数项 \(C\)。这与标准答案“常数项 + \(e^{x}\)*(三角线性组合)”的结构是一致的。
2. 关键错误： 学生答案中三角函数的自变量写成了“2”和“2”，而标准答案是“2x”和“2x”。这是一个严重的逻辑错误，因为它改变了微分方程解的形式。原特征方程有根 \(r=0\) 和 \(r=1\pm 2i\)，对应的解应为 \(e^{0*x}=1\) 和 \(e^{x}\cos(2x)\)、\(e^{x}\sin(2x)\)。学生答案中的 \(\cos2\) 和 \(\sin2\) 是常数，这会导致代入原方程后等式不成立，因此该答案不是微分方程的通解。
3. 误写判断： 根据“禁止扣分”规则，需要判断是否为误写。学生两次识别结果完全一致，均为“\(\cos2\)”和“\(\sin2\)”，没有出现“2x”的迹象。这强烈表明学生可能遗漏了自变量“x”，而非单纯的字符识别错误（如“2x”被识别为“2”）。因此，这应判定为逻辑错误，而非误写。
4. 常数项： 学生答案的常数项写为“C”，标准答案写为“C₁”。这只是符号表示差异，不构成错误。

结论： 由于学生答案在三角函数部分缺失了关键的自变量“x”，导致其表达式不是给定三阶线性常系数齐次微分方程的解，属于逻辑错误。根据评分要求，本题正确则得5分，错误则得0分，且禁止给步骤分。因此，本题得分为0分。

题目总分：0分