评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“0”。

本题要求计算矩阵 \( A \) 的逆矩阵的迹 \( tr(A^{-1}) \)。解题关键在于通过题目描述的初等行变换和初等列变换的逆过程，还原出原矩阵 \( A \)，或直接求出 \( A^{-1} \) 的迹。

具体步骤应为：设给定的矩阵为 \( B \)。
1. “将第2列的-1倍加到第1列”是初等列变换，对应右乘初等矩阵 \( E_{12}(-1) \)。其逆变换是“将第2列的1倍加到第1列”，即右乘 \( E_{12}(1) \)。
2. “交换A的第2行和第3行”是初等行变换，对应左乘初等矩阵 \( P_{23} \)。其逆变换仍是交换第2行和第3行，即左乘 \( P_{23} \)（因为 \( P_{23}^{-1} = P_{23} \)）。
因此，有 \( B = P_{23} A E_{12}(-1) \)。从而 \( A = P_{23}^{-1} B E_{12}(-1)^{-1} = P_{23} B E_{12}(1) \)。
计算可得 \( A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)。
计算 \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)，其迹 \( tr(A^{-1}) = 0 + 0 + (-1) = -1 \)。
或者利用性质：初等变换不改变矩阵的迹吗？不对，行交换不改变迹，但列变换可能改变矩阵本身，进而改变其逆的迹。更直接的方法是利用变换与逆矩阵的关系：由 \( B = P_{23} A E_{12}(-1) \) 得 \( A^{-1} = E_{12}(-1) B^{-1} P_{23} \)。由于迹具有 \( tr(XY) = tr(YX) \) 的性质，且 \( P_{23}^2 = I \)，可以推导出 \( tr(A^{-1}) = tr(B^{-1}) \)。计算 \( B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pma...