评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1/4”。

分析：题目要求计算傅里叶正弦级数和函数 \(S(x)\) 在 \(x = -\frac{7}{2}\) 处的值。已知 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上定义，其傅里叶正弦级数展开为奇延拓后的周期函数（周期为2）。因此，和函数 \(S(x)\) 是一个以2为周期的奇函数。计算过程如下：
1. 由于是奇延拓，\(S(x)\) 是周期为2的奇函数，即 \(S(x+2) = S(x)\) 且 \(S(-x) = -S(x)\)。
2. 计算 \(S\left(-\frac{7}{2}\right)\)：利用奇函数性质，\(S\left(-\frac{7}{2}\right) = -S\left(\frac{7}{2}\right)\)。
3. 利用周期为2，\(S\left(\frac{7}{2}\right) = S\left(\frac{7}{2} - 2 \times 2\right) = S\left(-\frac{1}{2}\right)\)，因为 \(\frac{7}{2} - 4 = -\frac{1}{2}\)。或者直接计算：\(\frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2}\)，周期为2，所以 \(S\left(\frac{7}{2}\right) = S\left(\frac{1}{2}\right)\)。
4. 由于 \(S(x)\) 是奇函数，\(S\left(-\frac{1}{2}\right) = -S\left(\frac{1}{2}\right)\)。结合第3步，得到 \(S\left(\frac{7}{2}\right) = S\left(\frac{1}{2}\right)\) 和 \(S\left(-\frac{1}{2}\right) = -S\left(\frac{1}{2}\right)\)，这并不矛盾，因为从不同路径推导，最终需要确定 \(S\left(\frac{1}{2}\right)\) 的值。
5. 在区间 \([0,1]\) 上，傅里叶正弦级数收敛到 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 内的点，但在端点 \(x=0,1\) 处收敛到0，在间断点 \(x=\frac{1}{2}\) 处...