评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“11”。本题要求计算函数 \(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\) 在点 (1,1,1) 处沿方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)}\)。

正确的计算过程是：先计算梯度 \(\nabla u = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)，在点(1,1,1)处梯度为 (1, 2, 3)。方向向量 \(\boldsymbol{n}\) 需单位化，其模为 \(\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=3\)，故单位方向向量为 \(\boldsymbol{n}^0 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\)。方向导数为梯度与单位方向向量的点积：\((1, 2, 3) \cdot (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

学生答案“11”与标准答案“1”不符，且没有提供任何计算过程。根据题目要求“正确则给5分，错误则给0分”，本题应得0分。

题目总分：0分