评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“215/3”，这是一个分数形式的数值。标准答案是“-4”。显然，215/3 ≈ 71.667，与-4在数值上完全不同。

从解题思路上看，题目要求方程组 \(A^2x=0\) 与 \(Ax=0\) 不同解。这意味着 \(A\) 不是幂零矩阵，且 \(Ax=0\) 的解空间是 \(A^2x=0\) 的解空间的子空间。两者不同解等价于 \(A^2x=0\) 的解空间严格大于 \(Ax=0\) 的解空间，这通常发生在 \(A\) 的零空间维数（即 \(A\) 的秩的缺陷）在平方后发生变化，更具体地说，与 \(A\) 的若尔当标准型中对应零特征值的块的大小有关。一个常见的结论是，当 \(A\) 的秩满足 \(r(A^2) = r(A) - 1\) 时，会出现这种情况。这需要计算矩阵 \(A\) 和 \(A^2\) 的秩，并建立方程。

学生答案“215/3”表明其计算过程很可能出现了严重的错误，例如在计算 \(A^2\) 的元素或求解关于 \(a, b\) 的方程时发生代数错误，导致得到了一个与正确答案无关的复杂分数。由于最终答案错误，根据题目要求“正确则给5分，错误则给0分”，本题应得0分。

题目总分：0分