评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“y=x”。

我们需要分析曲线 \(y = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}\) 的渐近线。对于此类函数，通常考虑斜渐近线。斜渐近线的形式为 \(y = kx + b\)，其中：

• \(k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}}{x}\)。
• \(b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx)\)。

计算 \(k\)： \[ k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{\frac{x^3 - 3x^2 + 1}{x^3}} = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}} = 1. \] 所以斜率 \(k=1\)。

计算 \(b\)： \[ b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} - x \right). \] 这是一个“\(\infty - \infty\)”型极限，需要进行有理化（立方根差有理化公式：\(a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}\)，其中 \(a = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}, b = x\)）。 \[ a^3 - b^3 = (x^3 - 3x^2 + 1) - x^3 = -3x^2 + 1. \] 因此， \[ b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3x^2 + 1}{(\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1})^2 + x\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} + x^2}. \] 当 \(x \to \pm\infty\) 时，分子和分母的最高次项均为 \(x^2\)。提取 \(x^2\)： 分母中，...