评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为： \[ x = \begin{pmatrix}5-k \\ 4-k \\ k-4 \\ k\end{pmatrix}, \quad k \text{为任意常数}. \] 我们需要判断该答案是否与标准答案等价。标准答案为 \[ x = k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k+1 \\ k \\ -k \\ -k+4\end{pmatrix}. \] 令学生答案中的参数 \( k \) 为 \( t \)，则学生答案为 \[ \begin{pmatrix}5-t \\ 4-t \\ t-4 \\ t\end{pmatrix}. \] 比较两者，若令 \( t = 4 - k \)（即学生参数 \( t \) 与标准参数 \( k \) 满足 \( t = 4-k \)），代入学生答案： \[ \begin{pmatrix}5-(4-k) \\ 4-(4-k) \\ (4-k)-4 \\ 4-k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+k \\ k \\ -k \\ 4-k\end{pmatrix}. \] 这与标准答案 \(\begin{pmatrix}k+1 \\ k \\ -k \\ -k+4\end{pmatrix}\) 完全相同。因此，学生答案与标准答案本质上是等价的，只是参数表示不同（学生用了 \(k\)，但形式与标准答案的 \(k\) 含义不同，但“任意常数”的性质一致）。

由于题目要求给出通解，学生答案正确表达了所有解，且与标准答案等价，因此应得满分。

得分：5分

题目总分：5分