评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“1+z”，与标准答案“1+z”完全一致。题目要求计算向量场 \(\mathbf{F}(x, y, z) = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2\) 的散度 \(\text{div} \, \mathbf{F}\)。根据向量叉积和散度的定义，计算过程如下：

1. 计算叉积： \(\mathbf{v}_1 = (0, x, z)\)，\(\mathbf{v}_2 = (v, 0, 1)\)（题目中“0.1”应为“0,1”，即z分量为1）。 \(\mathbf{F} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & x & z \\ v & 0 & 1 \end{vmatrix} = (x \cdot 1 - z \cdot 0)\mathbf{i} - (0 \cdot 1 - z \cdot v)\mathbf{j} + (0 \cdot 0 - x \cdot v)\mathbf{k} = (x, \, vz, \, -xv)\)。
2. 计算散度： \(\text{div} \, \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(vz) + \frac{\partial}{\partial z}(-xv) = 1 + 0 + 0 = 1\)。

然而，标准答案给出的是 \(1+z\)，这与上述直接计算的结果 \(1\) 不符。这里存在一个关键点：题目中 \(\mathbf{v}_2 = (v, 0.1)\) 的写法可能表示 \(\mathbf{v}_2 = (v, 0, 1)\)，但变量 \(v\) 的含义未明确。若将 \(v\) 视为常数，则散度为 \(1\)；若将 \(v\) 视为变量（例如等同于 \(y\)），则需重新计算。但标准答案为 \(1+z\)，暗示了在计算 \(\frac{\partial}{\partial y}(vz)\) 时，若 \(v = y\)，则该项对 \(y\) 求导结果...