评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“a<=0”。标准答案为“a<0”。

理由分析：本题需要求解参数a的取值范围，使得矩阵A的实特征值最大值m(A)小于矩阵B的实特征值最大值m(B)。这是一个需要精确计算和比较的题目。学生给出的答案包含了临界点a=0。我们需要验证当a=0时，条件m(A) < m(B)是否成立。若a=0时不等式不成立，则学生的答案包含了错误的部分，不能给分。

计算验证：
当a=0时，矩阵A的特征多项式为det(λI - A) = (λ-1)[(λ-0)(λ-0) - 4] = (λ-1)(λ² - 4) = (λ-1)(λ-2)(λ+2)。其实特征值为1, 2, -2，最大值m(A)=2。
矩阵B的特征多项式为det(λI - B) = det[[λ, 1, 1]; [1, λ-2, -1]; [1, 1, λ]]（将a=0代入并整理符号）。计算该三阶行列式可得特征多项式为λ³ - 2λ² - 3λ = λ(λ² - 2λ - 3) = λ(λ-3)(λ+1)。其实特征值为0, 3, -1，最大值m(B)=3。
此时，m(A)=2 < m(B)=3，不等式成立。

然而，标准答案仅为a<0，说明出题人认为a=0时不等式不成立，或者a=0时矩阵B的特征值最大值不是3？我们需要重新仔细计算a=0时的矩阵B。
B = [[0, -1, -1]; [-1, 2, 1]; [-1, -1, 0]]。
设矩阵为B，计算特征多项式：
det(λI - B) = det[[λ, 1, 1]; [1, λ-2, -1]; [1, 1, λ]]。
计算行列式：
= λ * det[[λ-2, -1]; [1, λ]] - 1 * det[[1, -1]; [1, λ]] + 1 * det[[1, λ-2]; [1, 1]]
= λ[(λ-2)λ - (-1)*1] - 1[1*λ - (-1)*1] + 1[1*1 - (λ-2)*1]
= λ[λ² - 2λ + 1] - [λ + 1] + [1 - λ + 2]
= λ(λ² - 2λ + 1) - λ - 1 + 3 - λ
= λ³ - 2λ² + λ - 2λ + 2
= λ³ - 2λ² - λ + 2。
因式分解：尝试λ=1， 1-2-1+2=0，所以(λ-1)是一个因子。
做多项式除法：(λ³ - 2λ² - λ + 2) ÷ (λ-1) = λ² - λ - 2。
因此特征多项式为 (λ-1)(λ² - λ - 2) = (λ-1)(λ-2)(λ+1)。
实特征值为1, 2, -1，最大值m(B)=2。
此时，m(A)=2，...