评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( a \le 0 \)。标准答案是 \( a < 0 \)。

我们需要分析当 \( a = 0 \) 时，是否满足条件 \( m(A) < m(B) \)。

当 \( a = 0 \) 时：

• 矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \)，其特征多项式为 \( |\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 0 & 0 \\ -2 & \lambda & -2 \\ 0 & -2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 4) \)。实特征值为 \( 1, 2, -2 \)，最大值 \( m(A) = 2 \)。
• 矩阵 \( B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)，其特征多项式为 \( |\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 2 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} \)。计算得 \( \lambda^3 - 2\lambda^2 - 3\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 3) \)。实特征值为 \( 2, \sqrt{3}, -\sqrt{3} \)，最大值 \( m(B) = 2 \)。

此时 \( m(A) = m(B) = 2 \)，不满足 \( m(A) < m(B) \)。因此 \( a = 0 \) 不包含在解集中。学生的答案包含了 \( a = 0 \) 这个不满足条件的点，属于逻辑错误（对临界值的判断错误）。

根据标准答案和“正确则给5分，错误则给0分”的规则，学生的答案与标准答案不完全一致，应判定为错误。

得分：0分。

题目总分：0分