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第一步：计算 $F(x)$ 在 $x=-1, 0, 1$ 处的函数值

由题设 $F(x) = a(1-x^2) + \int_{1}^{x} f(t) dt$ 及已知条件：

 

$$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0, \quad a = \int_{0}^{1} f(x) dx$$

1. 计算 $F(1)$：

    

   $$F(1) = a(1 - 1^2) + \int_{1}^{1} f(t) dt = 0 + 0 = 0$$

2. 计算 $F(0)$：

    

   $$F(0) = a(1 - 0^2) + \int_{1}^{0} f(t) dt$$

   $$F(0) = a - \int_{0}^{1} f(t) dt$$

    

   因为 $a = \int_{0}^{1} f(x) dx$，所以：

    

   $$F(0) = a - a = 0$$

3. 计算 $F(-1)$：

    

   $$F(-1) = a(1 - (-1)^2) + \int_{1}^{-1} f(t) dt$$

   $$F(-1) = 0 - \int_{-1}^{1} f(t) dt$$

    

   因为题目已知 $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$，所以：

    

   $$F(-1) = 0$$

综上所述，我们发现了 $F(x)$ 的三个零点：

 

$$F(-1) = F(0) = F(1) = 0$$

第二步：连续使用罗尔定理

由于 $f(x)$ 可导，故 $F(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上二阶可导。

1. 在区间 $[-1, 0]$ 上：

   因为 $F(-1) = F(0) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (-1, 0)$，使得：

    

   $$F'(\xi_1) = 0$$

2. 在区间 $[0, 1]$ 上：

   因为 $F(0) = F(1) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi_2 \in...