评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

标准答案为“-2”。

本题为填空题，要求计算 \(a b\) 的值。根据题意，当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷小，即 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)。需要分别将 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 展开到足够阶数的泰勒公式，通过比较系数来确定常数 \(a\) 和 \(b\)，进而求出 \(ab\)。

具体推导应为：
\(f(x) = ax + bx^2 + \ln(1+x) = ax + bx^2 + (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots) = (a+1)x + (b - \frac{1}{2})x^2 + o(x^2)\)。
\(g(x) = e^{x^2} - \cos x = (1 + x^2 + o(x^2)) - (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) = \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)\)。
为使 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，分子 \(f(x)\) 必须与分母 \(g(x)\) 同阶。由于 \(g(x)\) 是 \(x^2\) 阶无穷小，因此 \(f(x)\) 的 \(x\) 项系数必须为零，即 \(a+1=0\)，解得 \(a = -1\)。同时，\(x^2\) 项系数之比应为1，即 \(\frac{b - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = 1\)，解得 \(b = 2\)。因此 \(ab = (-1) \times 2 = -2\)。

学生答案“1”与标准答案“-2”不符，且未提供任何解题过程。根据题目要求“正确则给5分，错误则给0分”，本题应得0分。

题目总分：0分