评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“1”。

根据题目，曲线弧长的计算公式为 \( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, dx \)。首先需要求出被积函数。已知 \( y(x) = \int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3 - t^2} \, dt \)，由微积分基本定理，有 \( y'(x) = \sqrt{3 - x^2} \)。

因此，弧长被积表达式为 \( \sqrt{1 + (\sqrt{3 - x^2})^2} = \sqrt{1 + 3 - x^2} = \sqrt{4 - x^2} \)。

接下来需要确定积分区间。曲线由积分上限函数定义，其自变量 \( x \) 的取值范围由被积函数 \( \sqrt{3 - t^2} \) 的积分域决定。被积函数要求 \( 3 - t^2 \ge 0 \)，即 \( t \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \)。由于积分上限是 \( x \)，且积分下限是 \( -\sqrt{3} \)，所以 \( x \) 的取值范围也是 \( [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \)。因此，弧长 \( L = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4 - x^2} \, dx \)。

计算该积分：\( \int \sqrt{4 - x^2} \, dx \) 可利用几何意义或三角代换。令 \( x = 2\sin\theta \)，则 \( dx = 2\cos\theta \, d\theta \)，积分限变为：当 \( x = -\sqrt{3} \) 时，\( \sin\theta = -\sqrt{3}/2 \)，即 \( \theta = -\pi/3 \)；当 \( x = \sqrt{3} \) 时，\( \sin\theta = \sqrt{3}/2 \)，即 \( \theta = \pi/3 \)。被积函数化为 \( \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta = 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta = 4\cos^2\theta \)。

于是 \( L = \int_{-\pi/3}^{\pi...