评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

本题需要根据已知条件 \(f(x+2)-f(x)=x\) 和 \(\int_{0}^{2} f(x) d x=0\)，求解 \(\int_{1}^{3} f(x) d x\)。

一种正确的解法是：
由 \(f(x+2)-f(x)=x\)，可得 \(f(x+2) = f(x) + x\)。
则 \(\int_{1}^{3} f(x) dx = \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx\)。
对于 \(\int_{2}^{3} f(x) dx\)，令 \(t = x-2\)，则 \(x = t+2\)，积分区间变为 \([0, 1]\)，于是
\(\int_{2}^{3} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(t+2) dt = \int_{0}^{1} [f(t) + t] dt = \int_{0}^{1} f(t) dt + \int_{0}^{1} t dt = \int_{0}^{1} f(x) dx + \frac{1}{2}\)。
因此，
\(\int_{1}^{3} f(x) dx = \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx + \frac{1}{2} = \int_{0}^{2} f(x) dx + \frac{1}{2}\)。
已知 \(\int_{0}^{2} f(x) dx = 0\)，所以 \(\int_{1}^{3} f(x) dx = \frac{1}{2}\)。

标准答案为 \(\frac{1}{2}\)，而学生作答“1”与正确答案不符，属于计算或推导错误。根据题目要求，填空题正确得5分，错误得0分，且禁止给步骤分。因此，本题得分为0分。

题目总分：0分