评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“2”。而标准答案为“4”。

曲率半径 \( R \) 是曲率 \( k \) 的倒数，即 \( R = \frac{1}{k} \)。计算曲线在给定点的曲率需要用到一阶和二阶导数。对于隐函数 \( F(x, y) = x^{2}+2\sqrt {3}xy+y^{2}-1 = 0 \)，在点 (0,1) 处，可以通过隐函数求导法得到 \( y' \) 和 \( y'' \)，进而计算曲率 \( k = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}} \)，最后得到 \( R \)。

经计算，在点 (0,1) 处，\( y' = -\sqrt{3} \)，\( y'' = \frac{4}{3} \)，代入公式得 \( k = \frac{|4/3|}{(1+3)^{3/2}} = \frac{4/3}{8} = \frac{1}{6} \)，因此曲率半径 \( R = 6 \)。但标准答案给的是4，这里需要复核。实际上，标准答案4是正确的，上述计算中 \( y'' \) 有误。正确计算应为：对原方程求导得 \( 2x + 2\sqrt{3}(y + xy') + 2yy' = 0 \)，代入(0,1)得 \( 0 + 2\sqrt{3}(1+0) + 2*1*y' = 0 \)，解得 \( y' = -\sqrt{3} \)。再对一阶导式子求导：\( 2 + 2\sqrt{3}(y' + y' + xy'') + 2(y'^2 + yy'') = 0 \)，代入 x=0, y=1, y'=-\sqrt{3} 得 \( 2 + 2\sqrt{3}(-2\sqrt{3} + 0) + 2(3 + y'') = 0 \)，即 \( 2 - 12 + 6 + 2y'' = 0 \)，解得 \( y'' = 2 \)。则曲率 \( k = \frac{|2|}{(1+3)^{3/2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)，故曲率半径 \( R = 4 \)。学生答案“2”与正确结果不符，属于计算结果错误。

根据题目要求，本题为填空题，正确得5分，错误得0分，禁止给步骤分。因此，该小题得分为0分。

题目总分：0=0分