评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为：ln8 - 1。

根据题目要求，函数 \( f(x) = \ln(2+x) \) 在区间 \([0, 2]\) 上的平均值计算公式为： \[ \frac{1}{2-0} \int_0^2 \ln(2+x) \, dx \] 计算该积分： 令 \( u = 2+x \)，则 \( du = dx \)，当 \( x=0 \) 时 \( u=2 \)，当 \( x=2 \) 时 \( u=4 \)。 \[ \int_0^2 \ln(2+x) \, dx = \int_2^4 \ln u \, du = \left[ u \ln u - u \right]_2^4 \] 代入计算： \[ (4 \ln 4 - 4) - (2 \ln 2 - 2) = 4 \ln 4 - 4 - 2 \ln 2 + 2 = 4 \ln 4 - 2 \ln 2 - 2 \] 由于 \( 4 \ln 4 = 4 \cdot 2 \ln 2 = 8 \ln 2 \)，所以： \[ 8 \ln 2 - 2 \ln 2 - 2 = 6 \ln 2 - 2 \] 因此平均值为： \[ \frac{1}{2} (6 \ln 2 - 2) = 3 \ln 2 - 1 \] 标准答案为 \( 3 \ln 2 - 1 \)。

学生答案 \( \ln 8 - 1 \) 可以化简为 \( \ln(2^3) - 1 = 3 \ln 2 - 1 \)，与标准答案完全等价。

因此，学生答案正确，应得满分5分。

题目总分：5分