评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( p \in (-1, 1) \)。

标准答案为 \( 0 < p < 2 \)。学生的答案与标准答案不一致。

分析：该反常积分在 \( x \to 0^+ \) 和 \( x \to +\infty \) 时都需要考虑收敛性。

1. 当 \( x \to 0^+ \) 时，被积函数 \( \frac{\arctan x}{x^{p}(1+x)} \sim \frac{x}{x^{p} \cdot 1} = x^{1-p} \)。因此，积分在0点收敛需要 \( 1-p > -1 \)，即 \( p < 2 \)。
2. 当 \( x \to +\infty \) 时，被积函数 \( \frac{\arctan x}{x^{p}(1+x)} \sim \frac{\pi/2}{x^{p} \cdot x} = \frac{\pi/2}{x^{p+1}} \)。因此，积分在无穷远处收敛需要 \( p+1 > 1 \)，即 \( p > 0 \)。

学生的答案 \( (-1, 1) \) 在无穷远处的判断（\( p > 0 \)）是正确的，但在0点的判断（\( p < 2 \)）是错误的，其给出的下界-1不符合0点收敛的条件（\( p < 2 \) 包含了 \( p = -1 \) 的情况，但此时在0点发散）。因此，学生的答案存在逻辑错误，未能正确分析积分在0点附近的性态。

根据题目要求，本题为填空题，正确则给5分，错误则给0分，禁止给步骤分。学生答案错误，故得0分。

题目总分：0分