评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“40”。标准答案是“2”。

题目要求二次型 \( \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{x} \) 的规范形为 \( y_1^2 \)。这意味着矩阵 \( \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T \) 的秩为1，且其唯一的非零特征值为正（从而规范形系数为+1）。

由 \( \boldsymbol{A} \) 为 \( 2 \times 3 \) 矩阵可知，\( \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T \) 是 \( 2 \times 2 \) 矩阵。其规范形为 \( y_1^2 \) 等价于 \( \text{rank}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T) = \text{rank}(\boldsymbol{A}) = 1 \)，且 \( \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T \) 是半正定矩阵。

要使 \( \text{rank}(\boldsymbol{A}) = 1 \)，矩阵 \( \boldsymbol{A} \) 的两行必须成比例。设第一行为 \( (1, b, -1) \)，第二行为 \( (a+2, 3, -3a) \)，则存在常数 \( k \) 使得：
\( a+2 = k \cdot 1 \)，
\( 3 = k \cdot b \)，
\( -3a = k \cdot (-1) \)。
由第一式和第三式可得 \( k = a+2 \) 且 \( -3a = -(a+2) \)，解得 \( -3a = -a-2 \)，即 \( -2a = -2 \)，所以 \( a = 1 \)。代入得 \( k = 3 \)。再由第二式 \( 3 = 3 \cdot b \) 得 \( b = 1 \)。因此 \( a + b = 2 \)。

学生答案“40”与正确结果“2”不符，且没有提供任何解题过程，无法判断其思路是否正确。根据标准答案评判规则，答案错误，得0分。

题目总分：0分