评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确：先利用对称性化简积分区域，再转化为极坐标计算。但在计算过程中存在多处逻辑错误和计算错误。

具体分析：

1. 第一次识别结果中，极坐标积分限 \( \int_{0}^{\sqrt{2}} \) 正确，但第二次识别结果中写成了 \( \int_{0}^{2} \)，这可能是识别错误。根据上下文，应以第一次为准，不扣分。
2. 被积函数转换正确：\( y \sin \sqrt{x^2+y^2} = r \sin\theta \cdot \sin r \cdot r = r^2 \sin\theta \sin r \)。
3. 计算 \( A = \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 \sin r \, dr \) 时，学生使用了分部积分，但过程中出现了严重错误：
   • 第一步：\( -\int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 d\cos r = -r^2 \cos r \big|_{0}^{\sqrt{2}} + 2\int_{0}^{\sqrt{2}} r \cos r \, dr \) 正确。
   • 但接下来学生写为 \( -4\cos 2 + 2\int_{0}^{\sqrt{2}} r d\sin r \)，这里 \( \cos 2 \) 应为 \( \cos \sqrt{2} \)，且 \( 4\cos 2 \) 的系数错误（应为 \( 2\cos\sqrt{2} \)，因为 \( (\sqrt{2})^2 = 2 \)）。这是逻辑错误，扣2分。
   • 计算 \( B = \int_{0}^{\sqrt{2}} r d\sin r \) 时，学生写为 \( r\sin r \big|_{0}^{\sqrt{2}} - 2\int_{0}^{\sqrt{2}} \sin r \, dr \)，但正确应为 \( r\sin r \big|_{0}^{\sqrt{2}} - \int_{0}^{\sqrt{2}} \sin r \, dr \)。学生错误地多乘了2，导致后续计算全部错误。这是逻辑错误，扣2分。
   • 由于上述错误，最终结果 \( A \) 和 \( I \) 均错误，且表达式中出现 \( \sin 2, \cos 2 \) 等错误形式（应为 \( \sin\sqrt{2}, ...