评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题要求求 \( f'(x) \) 的表达式并判断其在 \( x=0 \) 处的连续性。学生的两次识别结果均存在多处逻辑错误和计算错误，但核心思路（利用变上限积分求导和讨论分段点）是正确的。

具体分析：

• 表达式推导错误：学生通过变量代换 \( u = xt \) 得到 \( f(x) = \frac{1}{x} \int_0^{x^3} g(u) du \)，这一步是正确的。但在后续求导时，两次识别结果给出的 \( f'(x) \) 表达式均为 \( -\frac{1}{x^2} \int_0^{x^3} g(u) du + 3x \cdot g(x^3) \)，这与标准答案 \( \dfrac{3x^3 g(x^3)-\int_{0}^{x^3} g(u)\mathrm{d}u}{x^2} \) 在形式上不一致。然而，通过代数变换可以发现，学生的表达式 \( -\frac{1}{x^2} \int_0^{x^3} g(u) du + 3x \cdot g(x^3) = \frac{3x^3 g(x^3) - \int_0^{x^3} g(u) du}{x^2} \)，两者是等价的。因此，在表达式推导上，学生的最终结果与标准答案本质一致，不扣分。
• 连续性判断逻辑混乱：学生试图通过计算 \( \lim_{x \to 0} f'(x) \) 和 \( f'(0) \) 来判断连续性。但在计算过程中存在多处错误：
  1. 在第一次识别中，计算 \( \lim_{x \to 0} f'(x) \) 时，错误地将分子求导（洛必达法则）应用于 \( \frac{\int_0^{x^3} g(M) dM}{x^2} \)，求导后应为 \( \frac{3x^2 g(x^3)}{2x} = \frac{3}{2} x g(x^3) \)，但学生写成了 \( \frac{3x \cdot g(x^3)}{2x} \)，这可能是笔误或识别错误，且最终极限结果正确（为0），根据“误写不扣分”原则，此处不扣分。
  2. 在第二次识别中，计算 \( f'(0) \) 时，错误地写为 \( \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^3} g(u) du}{x^3} \)，分母应为 \( x^...