评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生作答存在多处关键性逻辑错误和计算错误，但整体思路（分割区域、使用旋转体体积公式）正确。具体扣分如下：

1. 拐点坐标错误（扣2分）：学生未正确求出拐点M的坐标。拐点坐标是后续计算的基础，此处错误导致后续V1和V2的积分上下限及具体数值计算均无法正确进行。标准答案为 \( M\left( \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4} \right) \)，学生作答中未体现此计算过程。
2. 体积V1公式错误（扣2分）：学生给出的 \( V_1 = \frac{1}{3} y_0^2 x_0 \) 是错误的。由线段OM绕x轴旋转形成的体积应是一个圆锥体，其体积公式应为 \( V_1 = \frac{1}{3} \pi y_0^2 x_0 \)。学生漏掉了关键的π。
3. 体积V2被积函数错误（扣3分）：学生给出的 \( V_2 = \int_{x_0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx \) 是错误的。旋转体体积的截面是圆，面积应为 \( \pi y^2 \)，因此被积函数应为 \( \pi \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^2 \)。学生漏掉了π和平方，这是严重的概念错误。
4. 换元积分过程错误（扣2分）：在换元 \( x = \tan t \) 后，学生的推导出现混乱和错误。正确的推导应为： \[ V_2 = \pi \int_{x_0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \pi \int_{\arctan x_0}^{\pi/2} \frac{1}{\sec^4 t} \cdot \sec^2 t dt = \pi \int_{\arctan x_0}^{\pi/2} \cos^2 t dt \] 学生写成了 \( \cos^2 t \tan^2 t \) 或 \( \cos^0 t \)，均不正确，且最终表达式未完成积分计算。
5. 最终答案缺失（扣1分）：学生未给出最终的体积数值结果。

由于思路（分割求和、使用积分求旋转体体积）正确，给予基础分。扣除上述错误共计10分，最终得分为2分。

题目总分：2分