评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为“2”。

本题要求计算傅里叶正弦级数和函数 \(S(x)\) 在 \(x = -\frac{7}{2}\) 处的值。已知函数 \(f(x)\) 定义在 \([0, 1]\) 上，其傅里叶正弦级数展开为奇延拓后的周期函数（周期为2）。因此，和函数 \(S(x)\) 是一个以2为周期的奇函数。

首先，利用周期性：\(S(-\frac{7}{2}) = S(-\frac{7}{2} + 2 \times 2) = S(\frac{1}{2})\)，因为加上两个周期（4）后，自变量回到区间内。

其次，利用奇函数性质：\(S(-\frac{1}{2}) = -S(\frac{1}{2})\)。但这里我们需要的是 \(S(\frac{1}{2})\)。对于定义在 \([0,1]\) 上的函数，其正弦级数在区间端点处收敛到0，在内部点 \(x_0\) 处，若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，则级数收敛于 \(f(x_0)\)；若在间断点，则收敛于左右极限的平均值。

在 \(x = \frac{1}{2}\) 处，\(f(x)\) 的定义为：当 \(x \ge \frac{1}{2}\) 时，\(f(x)=x^2\)；当 \(x < \frac{1}{2}\) 时，\(f(x)=0\)。因此，在 \(x=\frac{1}{2}\) 处，左极限为0，右极限为 \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)，函数值 \(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)。由于这是第一类间断点，傅里叶级数的和 \(S(\frac{1}{2})\) 应等于左右极限的平均值，即 \(\frac{0 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}\)。

因此，标准答案为 \(\frac{1}{8}\)。学生答案“2”与正确答案不符，存在计算或逻辑错误。

根据评分规则，本题为填空题，答案错误得0分。

题目总分：0分