评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“3”。

本题要求计算函数 \( u(x,y,z)=xy^{2}z^{3} \) 在点 (1,1,1) 处沿方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)}\)。

正确的计算步骤如下：

1. 计算函数 \( u \) 的梯度：\(\nabla u = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)。
2. 在点 (1,1,1) 处，梯度值为 \(\nabla u|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3)\)。
3. 方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 不是单位向量，需要先单位化：\(\boldsymbol{n}^0 = \frac{\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|} = \frac{(2,2,-1)}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{(2,2,-1)}{3}\)。
4. 方向导数为梯度与单位方向向量的点积：\(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)} = \nabla u|_{(1,1,1)} \cdot \boldsymbol{n}^0 = (1,2,3) \cdot (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

因此，标准答案为 1。

学生的答案“3”是错误的。可能的原因是学生直接将梯度 (1,2,3) 与未单位化的方向向量 (2,2,-1) 进行点积，得到 \(1\times2 + 2\times2 + 3\times(-1) = 2+4-3=3\)，忽略了方向向量必须单位化这一关键步骤，属于计算逻辑错误。

根据题目要求，本题为填空题，正确得5分，错误得0分，且禁止给步骤分。因此，该小题得分为 0分。

题目总分：0分