评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1/8”，与标准答案“\(\frac{1}{8}\)”完全一致。

题目要求计算傅里叶正弦级数和函数 \(S(x)\) 在 \(x = -\frac{7}{2}\) 处的值。由于给定的函数 \(f(x)\) 定义在 \([0, 1]\) 上，其傅里叶正弦级数展开对应于奇延拓。因此，和函数 \(S(x)\) 是一个以 \(2\) 为周期的奇函数。计算过程应为：
\(S\left(-\frac{7}{2}\right) = S\left(-\frac{7}{2} + 4\right) = S\left(\frac{1}{2}\right)\)，因为周期为2，加2的整数倍（此处加4）函数值不变。
由于 \(S(x)\) 是奇延拓，在区间 \((0,1)\) 内，\(S(x)\) 等于原函数 \(f(x)\)，但在端点处，根据狄利克雷收敛定理，\(S(x)\) 应等于该点左极限和右极限的平均值。
在 \(x = \frac{1}{2}\) 处，原函数定义为 \(f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)。然而，这是函数值，不是级数的和。对于傅里叶级数，在间断点处，和函数等于左右极限的平均值。检查 \(f(x)\) 在 \(x=\frac{1}{2}\) 处：左极限为 \(0\)，右极限为 \(\frac{1}{4}\)，因此 \(S(\frac{1}{2}) = \frac{0 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}\)。
学生的答案“1/8”正确反映了这一计算结果。虽然作答过程没有展示，但作为填空题，答案正确即可得满分。

本题得分为：5分。

题目总分：5分