评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

计算过程：方向导数的定义为 \(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = \nabla u \cdot \boldsymbol{n}^0\)，其中 \(\boldsymbol{n}^0\) 是单位方向向量。

1. 计算梯度 \(\nabla u = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)。
2. 在点 \((1,1,1)\) 处，梯度为 \((1, 2, 3)\)。
3. 向量 \(\boldsymbol{n} = (2,2,-1)\)，其模为 \(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)。
4. 单位方向向量 \(\boldsymbol{n}^0 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\)。
5. 方向导数为 \((1, 2, 3) \cdot (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

学生的答案“1”与标准答案和上述正确计算结果完全一致。虽然作答没有过程，但作为填空题，答案正确即可得满分。

根据标准答案和打分要求，本题得分为 5分。

题目总分：5分