评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确使用了部分分式分解法，设定了正确的分解形式 \(\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+2}\)，并通过比较系数建立了方程组，解得 \(A=\frac{1}{5}, B=-\frac{1}{5}, C=\frac{3}{5}\)，这一步完全正确。

在积分过程中，学生将积分写为 \(\frac{1}{5}\int_0^1 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{x-3}{x^2-2x+2} \right) dx\)，这里需要注意，学生写的是 \(-\frac{x-3}{x^2-2x+2}\)，而根据求得的系数，应为 \(-\frac{1}{5}x + \frac{3}{5}\)，即 \(-\frac{x-3}{5}\)，因此该项前面已提取了 \(\frac{1}{5}\)，所以表达式 \(\frac{1}{5}\left( \frac{1}{x+1} - \frac{x-3}{x^2-2x+2} \right)\) 实际上是正确的，等价于标准答案中的形式。

接下来，学生处理 \(\int \frac{x-3}{x^2-2x+2} dx\) 时，采用了分子配凑的方法：将 \(x-3\) 写成 \((x-1)-2\)，然后拆分为两个积分：\(\int \frac{x-1}{x^2-2x+2} dx\) 和 \(\int \frac{2}{x^2-2x+2} dx\)。第一个积分通过凑微分可得 \(\frac{1}{2} \ln(x^2-2x+2)\)，第二个积分通过配方 \(x^2-2x+2 = (x-1)^2+1\) 可得 \(2 \arctan(x-1)\)。这一思路正确，但在具体系数处理上出现了符号错误。

学生写出的积分过程为：
\(\frac{1}{5}\left( \ln|x+1|\big|_0^1 - \int_0^1 \frac{[(x-1)-2]dx}{x^2-2x+2} \right)\)
然后直接写出结果：\(\frac{1}{5}\left( \ln2 - \frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2)\big|_0^1 - 2\arctan(x-1)\big|_0^1 \right)\)
这里存在两个问题：
1. 在拆开积分时，应该是 ...