评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题旨在证明导函数严格单调递增的充要条件。学生作答包含了必要性和充分性的证明尝试。

1. 必要性证明（已知f'(x)严格单增，证明不等式）：学生正确应用了拉格朗日中值定理，指出存在ξ₁∈(x₁, x₂)和ξ₂∈(x₂, x₃)，使得两个差商分别等于f'(ξ₁)和f'(ξ₂)。由于f'(x)严格单增且ξ₁ < ξ₂，故f'(ξ₁) < f'(ξ₂)，从而得出所需不等式。此部分逻辑完整、正确。
2. 充分性证明（已知不等式，证明f'(x)严格单增）：学生的证明过于简略且不完整。其表述为：“取s,t满足x₁ < s < x₀ < t < x₂，化简两式结合... ⇒ 严格单增”。这里符号使用混乱（如x₀未定义），且没有展示关键的推导步骤，例如如何利用已知不等式和极限过程得到任意两点导数值的大小关系。标准答案中需要通过取多点、利用极限得到单侧导数的不等式关系，最终论证导函数严格递增。学生的这部分证明缺乏核心逻辑，不能视为有效证明。

扣分分析：必要性证明正确，可得约一半分数（6分）。充分性证明基本缺失，仅给出模糊思路，未完成有效论证，此部分不能给分。综合来看，该题满分12分，学生完成了一半的有效证明。

得分：6分

题目总分：6分