评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，特征多项式计算过程与标准答案方法不同，但最终得到 \(a=3\) 是正确的。虽然行列式展开过程有笔误（如第二行第一列应为 -1 但写成了 1，以及后续计算有跳跃），但核心思路是利用 1 是重根的条件，代入 \(\lambda=1\) 使多项式值为零，从而解出 \(a=3\)。结果正确，且关键步骤体现，因此不扣分。得 6 分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答存在多处逻辑错误和计算错误：
1. 矩阵 \(A\) 写错：第二行第一列应为 -1 但写成了 1，第三行第一列应为 -1 但写成了 1，这导致后续计算全部基于错误矩阵。
2. 由 \(A^2\alpha = \alpha + 2\beta\) 推导时，直接写成了 \((A-E)X=0\)，逻辑跳跃，未正确联立两个方程消去 \(\beta\) 得到 \((A-E)^2\alpha=0\)。
3. 在求解 \((A-E)X=0\) 时，矩阵 \(A-E\) 计算错误（因 A 写错），且引入的增广矩阵 \((A-E, \beta)\) 和参数 \(k, k_1, k_2\) 含义不明，与题目条件不符。
4. 最终给出的 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 形式与标准答案完全不同，且未包含全部解（只给出两个线性无关解的组合，但实际应为任意非零向量）。
由于核心思路错误且计算基于错误矩阵，本题只能给予部分步骤分。考虑到学生尝试求解齐次方程组并给出了部分结构，给 1 分。

题目总分：6+1=7分