评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第一问包含两个部分：计算 \( P\{Y > 0\} \) 和 \( EY \)。

• 对于 \( P\{Y > 0\} \)：学生正确写出 \( P\{Y > 0\} = P\{X > 100\} \)，并给出了积分表达式 \(\int_{100}^{+\infty} \frac{2 \times 100^{2}}{(100 + x)^{3}} dx\)。虽然积分号前误写了一个负号（“-”），但后续计算过程正确，得到了结果 \(\frac{1}{4}\)。根据“禁止扣分”规则第1、2、4条，此处的负号识别错误属于误写，不扣分。该部分正确，应得满分（对应分值约3分）。
• 对于 \( EY \)：学生给出的表达式为 \( E(Y)=0\cdot P\{Y = 0\}+\int_{100}^{+\infty}(100 - x)f(x)dx \)。这里存在逻辑错误。根据题目定义 \( Y = \begin{cases} 0, & X \leq 100 \\ X - 100, & X > 100 \end{cases} \)，当 \( X > 100 \) 时，赔付额应为 \( X - 100 \)，而非 \( 100 - x \)。因此，被积函数符号错误，导致后续计算即使得出数值50，其推导过程也是基于错误公式。这是一个核心逻辑错误，需要扣分。考虑到该部分分值约3分，且结果数值碰巧与标准答案一致但过程错误，扣除该部分全部分值。

因此，第一问得分：3分（仅 \( P\{Y > 0\} \) 部分正确）。

（2）得分及理由（满分6分）

第二问要求求 \( M \) 的概率分布。

• 学生正确写出了 \( N \) 的泊松分布概率质量函数 \( P(N=n)=\frac{8^{n}e^{-8}}{n!} \)，以及条件概率 \( P(M = k|N=n)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k} \)，并正确代入 \( p = \frac{1}{4} \)。
• 在推导 \( P(M = k) \) 时，学生给出的中间表达式 \( P(M = k)=\frac{6^{n - k}2^{k}e^{-8}}{k!(n - k)!} \) 是不完整的，因为它仍然依赖于求和变量 \( n \)，且未写出求和符号。这...