2026年考研数学（一）考试试题 - 第18题回答

好的，我们先聚焦于题目中的第18题（也就是本题），学生的作答是针对本题的。 --- ## 第一步：分析题目与标准答案 题目给出 \[ dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy, \quad xy > 0 \] 且 \(f\) 有三阶连续导数，\(F\) 可微。 **(1)** 要证明 \[ \frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C \] 等价于 \[ f''(u) - f(u) = C u \] 但标准答案思路是：由恰当微分条件 \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{f(xy)}{x^2 y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f''(xy)}{x y^2} \right) \] 去推导微分方程。 **(2)** 已知 \(f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0\)（注意学生写的是 \(f(1)=-1f''(1)=0\) 可能是识别错误，应为 \(f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0\)），求 \(f(u)\)。 标准答案给出的结果是 \[ f(u) = -e^{-1} + e^{1+u} + u \] 这个形式与学生的结果不同，需要验证谁对。 --- ## 第二步：检查学生 (1) 的推导 学生设 \[ P = \frac{f(u)}{xy} \quad\text{（这里与题目不一致）} \] 题目是 \[ P = \frac{f(xy)}{x^2 y} = \frac{f(u)}{x^2 y} \] 学生写成了 \(P = \frac{f(u)}{xy}\)，这可能是识别错误或抄错。 但继续看他的计算： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{f(u)}{x y^2} + \frac{f'(u)}{x y^2} \] 如果 \(P = \frac{f(u)}{xy}\)，则 \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\pa...

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