评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中关于(1)的证明逻辑混乱，存在多处错误：
1. 由条件 \(\int_{-1}^{1} f(x)dx = 0\) 不能推出 \(\int_{-1}^{0} f(x)dx = 0\)，学生错误地假设了这一点，并在此基础上进行推导。
2. 后续推导中出现了 \(f(0) = -a\) 等没有根据的断言。
3. 最终结论 \(a > 0\) 与题目要求证明的 \(a < 0\) 相反，且证明过程无法支持该结论。
因此，本题证明思路完全错误，未能正确使用函数严格单调递增和积分和为0的条件。根据评分标准，逻辑错误需扣分。本题得0分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中关于(2)的证明存在以下问题：
1. 题目给出的 \(F(x)\) 是 \(F(x)=a(1 - x^2) + \int_{1}^{x}f(t)dt\)，但学生写成了 \(F(x)=a(x - 1)^{2}+\int_{0}^{x}f(t)dt = 0\)，函数表达式错误。
2. 后续证明中提到的 \(F(0)=a(0 - 1)^{2}+\int_{0}^{0}f(t)dt = 0\) 和 \(F(1)=0\) 是基于错误的函数表达式，且未验证 \(F(-1)=0\)。
3. 证明中试图使用拉格朗日中值定理，但前提条件不成立，且最终结论与题目要求证明的 \(F''(\xi)=0\) 无关。
因此，本题证明过程与题目条件不符，逻辑错误，未能正确使用罗尔定理。根据评分标准，逻辑错误需扣分。本题得0分。

题目总分：0+0=0分