2026年考研数学（一）考试试题 - 第22题回答

好的，我们先梳理一下题目和学生的作答。 题目是概率论中关于指数分布定数截尾寿命试验的估计问题，分为两问： （1）k=1 时，求失效时间 T 的密度，并找 a 使 \(E(aT)=\theta\)，再求方差。 （2）一般 k 个失效时，由给定似然函数求 θ 的 MLE。 学生作答的最后一部分（22题）才是本题内容，前面 20、21 题是其他题，我们只看 22 题。 --- **学生作答内容（22题部分）**： > 22. (1) \(k = 1\)，\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}\)，\(F(x)=1 - e^{-\frac{x}{\theta}}\)，\(T=\min\{X_{1},\cdots,X_{n}\}\)。 > (2) \(P(T\gt t)=P(X_{1}\gt t,\cdots,X_{n}\gt t)=\prod_{i = 1}^{n}P(X_{i}\gt t)=e^{-\frac{nt}{\theta}}\)。 > \(F_{T}(t)=1 - e^{-\frac{nt}{\theta}}\)，\(f_{T}(t)=\frac{n}{\theta}e^{-\frac{nt}{\theta}}\)。 > \(E(aT)=aE(T)\)，又\(E(T)=\frac{\theta}{n}\)，\(E(aT)=\theta\Rightarrow a = n\)。 > \(D(\theta)=D(nT)=n^{2}D(T)\)，\(D(T)=\frac{\theta^{2}}{n^{2}}\)，\(D(\theta)=\theta^{2}\)。 --- **对照标准答案**： （1）(i) 标准答案：\(f_T(t) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{n}{\theta}t}, t>0\) 学生推导过程正确：先写指数分布密度，再求 \(T=\min\{X_1,\dots,X_n\}\) 的分布，得到 \(F_T(t)=1-e^{-nt/\theta}\)，密度为 \(\frac{n}{\theta}e^{-nt/\theta...

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