评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答分为两部分：
(i) 求T的概率密度：学生正确写出了单个元件寿命的指数分布密度函数和分布函数，并指出T是n个独立同分布指数随机变量的最小值。接着通过计算生存函数 \(P(T>t)\) 得到 \(F_T(t)=1-e^{-nt/\theta}\)，进而求导得到概率密度 \(f_T(t)=\frac{n}{\theta}e^{-nt/\theta}\)。此部分推导完整、正确，与标准答案一致。
(ii) 求a使得 \(E(\hat{\theta})=\theta\) 并求 \(D(\hat{\theta})\)：学生正确计算 \(E(T)=\theta/n\)，由 \(E(aT)=aE(T)=a\cdot\theta/n=\theta\) 解得 \(a=n\)。在计算方差时，学生写出 \(D(\hat{\theta})=D(nT)=n^2 D(T)\)，但随后写出的 \(D(T)=n^2\cdot\frac{\theta^2}{n^2}=\theta^2\) 存在逻辑错误。实际上，对于指数分布最小值 \(T\)，其方差应为 \(D(T)=(\theta/n)^2\)，因此 \(D(nT)=n^2\cdot(\theta/n)^2=\theta^2\)。学生虽然最终结果 \(D(\hat{\theta})=\theta^2\) 正确，但中间推导过程 \(D(T)=n^2\cdot\frac{\theta^2}{n^2}\) 的表达式有误（错误地将 \(D(T)\) 写成了 \(\theta^2\) 的形式，而 \(\frac{\theta^2}{n^2}\) 才是正确的）。由于核心结果正确，且中间步骤虽有表述不清但未影响最终答案，根据“思路正确不扣分”原则，此处不扣分。但需注意，若严格按步骤评分，此处表述有瑕疵。综合考虑，本小题整体正确，给予满分。
得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中给出了似然函数 \(L(\theta)=\theta^{-k}e^{-S/\theta}\)，其中 \(S=\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\)，并提到对 \(\ln L(\theta)\) 求导（后续未完整显示）。虽然推导过程不完整，但根据已写出的内容，学生正确写出了似然函数，并指出了通过取对...