2026年考研数学（一）考试试题 - 第18题回答

好的，我们先一步步分析学生的解答。 --- ## **题目回顾** 已知 \[ dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy, \quad xy>0 \] 且 \(f(u)\) 在 \((0,+\infty)\) 上有三阶连续导数。 **(1)** 证明 \[ \frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C \] 即 \[ f''(u) - f(u) = C u \] 其中 \(C\) 为常数。 **(2)** 已知 \(f(1)=1, f'(1)=0, f''(1)=0\)，求 \(f(u)\)。 --- ## **标准答案思路** (1) 由全微分的条件 \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{f(xy)}{x^2 y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f''(xy)}{x y^2} \right) \] 计算后化简可得 \(f''(u) - f(u) = C u\)。 (2) 代入初始条件解常微分方程，得到 \[ f(u) = -e^{-1} + e^{1+u} + u \] （标准答案这里可能打印有误，应为 \(f(u) = -e^{-1} e^{u} + e^{1} e^{-u} + u\) 之类？但学生答案与标准答案形式不同，需核对。） --- ## **学生解答分析** ### **第(1)问** 学生设 \[ P = -\frac{f(xy)}{x^2 y}, \quad Q = -\frac{f'(xy)}{x y^2} \] 这里明显识别错误：题目中 \(Q\) 是 \(\frac{f''(xy)}{x y^2}\)，不是 \(f'\)。 但学生计算 \(\frac{\partial P}{\partial y}\) 时，公式里出现了 \(f'(xy)\) 和 \(f(xy)\)，\(\frac{\partial Q}{\partial x}\) 时出现了 \(f''(xy)\) 和 \(f'(xy)\)，这与他写的 \(Q...

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