2026年考研数学（一）考试试题 - 第21题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答与题目要求。 --- ## 题目回顾 题目分为两部分： 1. 证明 \(\alpha_1, \alpha_2\) 是 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\) 的一个极大线性无关组。 2. 求 \(H\) 使得 \(GH = A\)，并求 \(A^{10}\)。 已知 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)\)，\(G = (\alpha_1, \alpha_2)\)。 --- ## 学生作答分析 学生作答内容中，第 21 题对应本题。 识别结果中，学生写的是： > (1) 对矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0& - 1& - 1&1\\1&2&1& - 1\end{pmatrix}\) … 这里明显矩阵写错了，题目给的 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\) 都是 4 维列向量，矩阵 \(A\) 应是 \(4\times 4\)，但学生写成了 \(3\times 4\)（可能是识别错误或抄错题）。 接着学生说进行 \(r_3 + r_1\)，\(r_4+r_1\) 操作得到 \(\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0& - 1& - 1&1\\2&3&1& - 1\\2&3&1& - 1\end{pmatrix}\)，这已经是 \(4\times 4\) 矩阵，说明他可能一开始的 \(A\) 写错但后面又按 4 行来算了。 然后他说再进行 \(r_1+r_2\)，\(r_2\times(-1)\) 得到 \(\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\\2&3&1&-1\\2&3&1&-1\end{pmatrix}\)。 这里最后两行相同，说明秩为 2，且前两行是简化行阶梯形式，\(\alpha_3 = -\alpha_1 + \alpha_2\)，\(\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2\)，所以 \(H = \begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\end{pmatrix}\) 是合理的。 ...

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