评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，(i) 部分：首先写出了单个元件寿命的概率密度函数和分布函数，然后正确指出T是n个独立同分布指数随机变量的最小值，并推导了T的生存函数、分布函数和概率密度函数，结果与标准答案一致。此处逻辑完整正确，应得满分3分。

(ii) 部分：学生通过计算E(aT)正确得出a=n。但在计算方差D(θ)时，表达式“D(θ)=D(nT)=n^{2}D(T)”是正确的，然而在计算D(T)时出现了逻辑错误。学生写的是“D(T)=n^{2}·θ²/n²=θ²”，这显然是错误的，因为D(T)本身应该等于(θ/n)² = θ²/n²（对于指数分布，若均值为θ，则参数λ=1/θ，最小值的均值为θ/n，方差为θ²/n²）。学生直接将n²乘以后面的表达式，并错误地约简，得到了θ²。虽然最终答案D(θ̂)=θ²与标准答案一致，但中间推导过程存在明显的逻辑跳跃和错误（将D(T)错误写成n²·θ²/n²，这等于说D(T)=θ²，而实际上D(T)=θ²/n²）。由于推导过程有误，不能给满分。扣1分。因此(ii)部分得2分（满分3分）。

综上，(1)部分总得分为3+2=5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出了似然函数L(θ)=θ^{-k}e^{-S/θ}，其中S为总试验时间统计量。写出了对数似然函数ln L(θ) = -k ln θ - S/θ。但解答到此为止，没有进行下一步：对θ求导并令导数为零以求解最大似然估计θ̂。标准答案要求给出θ̂的表达式。学生作答缺少关键的最后求解步骤，因此答案不完整。考虑到已完成的步骤正确，但未得出最终估计量，扣3分。得3分。

题目总分：5+3=8分